你能想到的最大數字是多少？原來，數數也算一門學問 環球通訊

問一個孩子他能想到的最大的數是什么，他往往會一長串地念下去“五十億億萬億萬億……”直到喘不過氣來，可能還摻雜著自創詞匯。

(資料圖片)

這樣的數按照日常標準當然很大了，也許比地球上所有生物的數量，或者宇宙中所有星體的數量還要多。但是這些與數學家們遇到的真正的大數比起來，可還是小巫見大巫。

“大數學”（googology）便是專門研究巨大數字的子學科（請注意是“大數/學”，而不是“大/數學”）。

幾年前，麻省理工學院舉辦了一場“大數冠軍賽”。

規則很簡單，兩個人走到黑板前，輪流一個數字，數字更大者即可勝出。但有一些限制，比如你不能寫“另一個人的數字+1”，也不能寫無限，但在大多數情況下，只要數字定義清楚，隨你怎么寫都可以。

“大數冠軍賽”宣傳海報，左下方是擂主拉約，記住這個人，后面會考

所以，數數怎么還成了門學問，甚至還能比賽呢？

01

最早思考大數的大腦

阿基米德被認為是最早開始認真思考大數問題的人之一。他想知道世界上有多少顆沙粒，以及多少沙粒可以塞進整個空間。他在文章《數沙者》中寫道 ：

我知道有些人認為沙子的數量是無限的……但還有人不把沙子的數量看作無限，但是認為不會有數可以超過它。

為了鋪平道路，阿基米德開始擴展當時可用的大數命名系統——這也是此后所有試圖定義越來越大的整數的數學家們首先遇到的關鍵挑戰。

希臘人將10000 稱為murious，意為“無法計數”。阿基米德使用了“無數無數”作為自己研究的起點，也就是 100 000 000，用現代指數來表示就是10⁸。

阿基米德將任何達到“無數無數”的數稱為“第一級數”，將達到“無數無數”乘以“無數無數”的數（10¹⁶）稱為“第二級數”，以此類推。

通過這樣的方法，阿基米德可以描述到有800 000 000位的數字，他把這些數字定義為“第一階段”。數字10^800000000本身則被視作“第二階段”的開始，并不斷以這樣的過程重新開始。每個階段都比上一階段的數大10⁸倍，直到無數個無數周期的結束，最后，他可以得到一個巨大的數

10^{80 000 000 000 000 000}，或者說一個“無數的無數倍的無數次冪”。

02

神秘的東方力量

就大數這件事而言，阿基米德稱得上是西方世界的巫師，但在東方世界，學者們很快就把對大數的探索推進了很多。

早在大約 3 世紀，印度梵語文獻《普曜經》便介紹了一個以俱胝（koti）（梵文中的10 000 000）開頭的數字系統。

從 koti 開始往下，是一長串數字，每一個都比上一個大一百倍 ：一百個 koti 是一個阿廋多（ayuta），一百個 ayuta 是一個那由他（niyuta），一 直到tallakshana，也就是 1 后面有 53 個 0。同時，他將更大的數字命名為 dhvajhagravati，等于10⁹⁹，直到uttaraparamuarajapravesa，即10⁴²¹。

另一部佛教文獻《華嚴經》描述了一個具有無窮多層級、互相交叉的宇宙。在卷三十中，佛陀再次闡述了大數的形成，從10¹⁰開始，將其平方得到10²⁰，再次平方得到10⁴⁰……一直到10^{101 493 392 610 318 652 755 325 638 410 240}。再將這個數平方，便可以得到“難以計數之物”。他繼續命名更大的數為“無量”“無邊”“無比”“無數”“不可思”“不可量”“不可說”，到最后的頂點得到一個“不可說不可說轉”——10^{10×(2^122)}。這個數字讓阿基米德在其著作中提到的最大數字10^{80 000 000 000 000 000}相形見絀。

03

宇宙已經容不下的巨大數字

1920 年，美國數學家愛德華 · 卡斯納讓他九歲的侄子米爾頓 · 西洛塔為 1 后面有 100 個 0 的數字想一個名字，西洛塔想到的是“googol”。在被卡斯納與詹姆斯 · 紐曼合著的書《數學與想象》引用以后，“googol”被收錄進了流行詞典。

西洛塔還引申出一個“googolplex”，意為“在 1 后面寫 0 寫 到你累了為止。” 如果我們將這個輕描淡寫改良一下，googolplex 可以精確地表示為：它是10^googol，即 1 后面有 googol 個 0。googolplex 大得嚇人，地球上沒有足夠多的紙張能寫下它，即使把每一個零寫得像質子或電子一樣小，在整個可觀察宇宙也不足寫下它的全部位數。

“已知的宇宙也無法容得下能寫完googolplex所有的零的紙”

由googol衍生出的googolplex，zoogol和zoogolplex的數值

googolplex 比古代任何有名字的所有數都大，包括那個“不可說不可說轉”。然而，它卻比一個數字要小——“斯基維斯數字”。它是 1933 年由南非數學家斯坦利 · 斯基維斯在研究質數時產生出來的。它指的是質數分布問題的上限，數值是10^{10^8852142197543270606106100452735038.55}。

英國著名數學家戈弗雷 · 哈羅德 · 哈代將“斯基維斯數字”描述為“數學史上有實際意義的最大的數”，這個巨大的上限本身需要黎曼假設。

為了不被純數學領域超越，物理學家們也提出了一些物理領域的大數用以解決一些不同尋常的難題。在這場大數對戰中，物理學前沿的一個早期的出場選手是法國數學家、理論物理學家和博學家亨利 · 龐加萊。他在諸多著作中提出了一個問題：物理系統需要多長時間才能準確地返回到某個狀態？這個時間被稱為“重現時間”。加拿大理論家唐 · 佩奇（他曾是斯蒂芬 · 霍金的學生）估計，可觀測宇宙的龐加萊重現時間為10^{10^10^10^2.08}年，這個數字介于 googolplex 與斯基維斯數字之間。

04

新符號？新咒語！

當指數符號過于頻繁，不利于排版時，美國計算機科學家高德納引入了“向上箭頭表示法”。在這種命名法中，指數運算用一個單獨向上箭頭↑表示，如 googol（10100）可表示為 10↑100，33 可表示為 3↑3。而重復的指數運算（我們沒有日常符號）則用兩個向上箭頭↑↑表示，被稱作“迭代冪次”。這個運算強度非常大，以 3 這個很小的數字為例：

3↑↑3=3^{3^3}=3²⁷

其數值是 ：7,625,597,484,987

從指數到迭代冪次，僅僅多加了一個向上箭頭，帶來的是更具戲劇性的增長。如果這樣持續運算下去，這個冪塔的長度可以延伸到太陽。這個數字被稱為tritri，它遠比我們之前提到的任何數字都要大，簡直要超出我們這些平凡生命體的理解范疇了。但我們才剛剛開始。盡管 tritri 是如此之大，但它與葛立恒數的偉大頂峰相比， 還是如同一顆微不足道的塵埃。

羅納德·葛立恒（Ronald Graham）

數學家，雜技演員、魔術師

妥妥的“斜杠人士”

他的妻子是華人圖論專家金芳蓉

因此他也取了中文名字“葛立恒”

讓我們在剛剛的數上再加一個向上箭頭，就可以看到：3↑↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑↑3=3↑↑↑tritri。

第一層是3。

第二層是3↑3↑3=7,625,597,484,987。

第三層是3↑3↑3↑3…↑3——即有 7,625,597,484,987 個 3（即 tritri）。

第四層是3↑3↑3↑3…↑3，也就是 tritri 個 3。

以此類推，3↑↑↑↑3 是 tritri 的冪塔。

↑↑↑，這是一個難以置信的巨大進步。但到目前為止，我們只爬到了G1處，即葛立恒數系列的第一個，葛立恒數本身的起點。那G2是什么呢？3↑↑↑↑…↑3，G1個向上箭頭。即使只是看一眼，這個數都有點讓人頭暈目眩。可以繼續推測，接下來 G3 有 G2個向上箭頭，而 G4有 G3 個向上箭頭……而葛立恒數是多大呢？是G64。

而它依然不是目前人類能創造出的最大的數。

05

“理論數字”

還記得開頭的大數對決嗎？

這場混合著喜劇、復雜數學、邏輯、哲學思辨的數學大戰可謂戲劇性、娛樂性拉滿。擂主是麻省理工學院哲學家阿古斯丁·拉約（外號“墨西哥增殖怪獸”），挑戰者是普林斯頓大學哲學家阿達姆·埃爾加（外號“邪惡博士”），二人在誰能定義出更大的整數上一決雌雄。

埃爾加以數字 1 開局，但拉約很快以整個黑板的 1 作為反擊。埃爾加不甘示弱，立即將除了開頭兩個1之外的所有1都擦斷，將它變為11后面跟著一串階乘符號（!） 。

確實屬于合理利用規則

隨著這樣的決斗繼續進行，數字最終超越了人們熟悉的數學領域，直到對陣雙方不得不發明自己的符號來表示更大的數。

最后拉約給出了致命一擊。他描述這個數是“比任何由一階集合論語言中，包括 googol 符號在內，或更少的表達符號所命名的有限正整數都大的最小正整數”。

這個拉約數字到底有多大，我們無法得知，可能永遠也無法得知。沒有足夠的時間和空間：拉約數字是不可計算的，就像停機問題一樣不可計算。

現在，當談論到我們容易感知到的最大正整數時，拉約數字或多或少劃清了我們已知和未知的邊界。

有一些更大的數字被制造出來，其中最著名是 2014 年誕生的 “BIG FOOT”。但是要想粗略了解 BIG FOOT，就意味著我們要進入一個叫作“oodleverse”的陌生領域，學習“一階 oodle 理論”的語言——這是一個需要我們有更高的數學水平，以及更高的幽默水平來解決的絕佳冒險。畢竟，迄今為止所有能達到的最大命名的大數都建立在拉約數字同樣的體系之上。

人們很容易認為，像拉約數字這樣的巨大數字讓我們更接近無限。但事實并非如此。無限的數字也許可以用來產生有限的數字，但不管我們找到的數字有多么高，永遠沒有一個點讓“有限”與“無限”相融合。事實上，與我們小時候數 1、2、3 相比，尋找更大的有限數并沒有朝無限走近一步。

但我們總會走到半徑更大的地方。

——互動問題——

你能想象的非常大的數字是什么？

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